Արտաշես Մինասյանը ծնվել է 1967 թվականի հունվարի 21-ին Երևան քաղաքում։ 1991 թվականին, լինելով միջազգային վարպետ, բազմաթիվ գրոսմայստերների հետ պայքարում Արտաշեսը հասավ իր կարիերայի մեծագույն նվաճմանը՝ դառնալով Խորհրդային Միության չեմպիոն Այդ հաղթանակից հետո նրան շնորհվեց գրոսմայստերի կոչում։
ԽՍՀՄ-ի փլուզումից հետո կայացած անկախ Հայաստանի առաջին առաջնության (1992) հաղթողներից մեկն է (Աշոտ Անաստասյանի հետ)։ Բացի այդ, նա Հայաստանի չեմպիոնի կոչման է արժանացել ևս հինգ անգամ՝ 1990, 1993, 1995, 2004 և 2006 թվականներին։ «Երևան» թիմի կազմում 1995 թվականին դարձել է Եվրոպայի ակումբային գավաթի խաղարկության հաղթող։
2000 թվականին հանդես է եկել Դելիում կայացած նոկաուտ համակարգով աշխարհի առաջնությանը, որտեղ հասել է մինչև երկրորդ փուլ՝ այնտեղ պարտվելով Միխայիլ Գուրևիչին, իսկ 2005 թվականին Խանտի Մանսիյսկում կայացած Աշխարհի գավաթի խաղարկության առաջին ռաունդում զիջել է Լյուկ վան Վելիին։
Մինասյանը Հայաստանի հավաքականի կազմում ինը անգամ մասնակցել է շախմատային օլիմպիադաներին։ 2006 թվականի հունիսին Լևոն Արոնյանի, Վլադիմիր Հակոբյանի, Կարեն Ասրյանի, Գաբրիել Սարգսյանի և Սմբատ Լպուտյանի հետ դարձավ Թուրինի 37-րդ համաշխարհային օլիմպիադայի հաղթող։ Այդ հաղթանակի համար նա և թիմակիցները պարգևատրվեցին Մովսես Խորենացու մեդալով։ Իսկ երկու տարի անց՝ 2008 թվականին Դրեզդենում կայացած 38-րդ օլիմպիադայում տարած հաղթանակի համար պարգևատրվել է «Հայրենիքին մատուցած ծառայությունների համար» առաջին աստիճանի մեդալով։
Կարիերայի ամենաբարձր վարկանիշին հասել է 1998 թվականի հուլիսի 1-ին՝ 2620։ Այդ արդյունքով նա ՖԻԴԵ-ի վարկանիշային աղյուսակում բաժանում էր 52-54-րդ տեղերը։
